ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล (Exponential Function)

            จากการศึกษาในเรื่องเลขยกกำลัง  ซึ่งท้ายที่สุดเราได้สนใจเลขยกกำลังที่มีฐานเป็นจำนวนจริงบวก  และเลขชี้กำลังเป็นจำนวนจริงใด ๆแต่ได้มีนักคณิตศาสตร์ได้สังเกตเห็นว่า  ถ้าเลขยกกำลังมีฐานเป็น 1  และเลขชี้กำลังเป็นจำนวนจริงใด ๆ ดังนี้

          ถ้ากำหนดให้      a = 1  และ x เป็นจำนวนจริงใดแล้วจะได้  ax  = 1x  =  1

ข้อสังเกต

• ไม่ว่า x จะเป็นจำนวนจริงใด ๆ ก็ตาม 1x ก็ยังคงเท่ากับ 1 เสมอ  ดังนั้นจึงไม่น่าสนใจ  เนื่องจาก  เราทราบว่ามันเป็นอะไรแน่ ๆ อยู่แล้ว
• เรายังไม่ทราบนะว่า  เลขยกกำลังที่มีฐานเป็นจำนวนจริงบวกยกเว้น 1  และเลขชี้กำลังเป็นจำนวนจริงใด ๆ แสดงว่าเราจะต้องสนใจศึกษาเลขยกกำลังลักษณะนี้เป็นพิเศษ  ซึ่งจะกล่าวถึงใน  เรื่องฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลดังนี้

ข้อกำหนด  ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล คือ f = { (x, y) Î R ´ R+ / y = ax , a > 0, a ¹ 1 }

ข้อตกลง  ในหนังสือคณิตศาสตร์บางเล่มให้ข้อกำหนดของฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล  เป็นฟังก์ชันที่อยู่ในรูป f(x) = kax  เมื่อ k เป็นค่าคงตัวที่ไม่ใช่ 0 และ a เป็นจำนวนจริงบวกที่ไม่เป็น 1 แต่ในหลักสูตรมัธยมศึกษาตอนปลายนี้  จะถือว่าฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลจะอยู่ในรูป f(x) = ax  เมื่อ a เป็น จำนวนจริงบวกที่ไม่เป็น 1 เท่านั้น

ข้อสังเกต  จากข้อกำหนดฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล

• f(x) = 1x เป็นฟังก์ชันคงตัวเนื่องจาก 1x = 1  ดังนั้นในข้อกำหนดฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล  จึงไม่สนใจ  ฐาน (a) ที่เป็น 1
• f(x) = 1x  ไม่เป็นฟังก์ชันเอ็กซ์โพเนนเชียล  เนื่องจาก  f(x) = 1x เป็นฟังก์ชันคงตัว
• จากเงื่อนไขที่ว่า  y = ax, a > 0, a ¹ 1  ทำให้เราทราบได้เลยว่าฐาน (a) มีอยู่ 2 ลักษณะ คือ  0 < a < 1 กับ a > 1
• ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลจะมีอยู่ 2 ชนิด  โดยขึ้นอยู่กับลักษณะของฐาน (a)  ดังนี้

ชนิดที่ 1     y = ax, 0 < a < 1
ชนิดที่ 2     y = ax, a > 1

กราฟของฟังก์ชัน  y = ax, 0 < a < 1

            ลองศึกษารูปร่างกราฟของฟังก์ชัน  y = ax, 0 < a < 1  จากตัวอย่างดังต่อไปนี้

ตัวอย่างที่ 1  จงเขียนกราฟของฟังก์ชัน  y = 
            วิธีทำ    ฟังก์ชัน  y =   เป็นฟังก์ชันเอกซ์โพเนินเชียลที่มีฐาน (a) เป็นจำนวนจริงบวกที่มีค่าน้อยกว่า  1 ( 0 < a < 1  นั่นเอง)
เขียนตารางแสดงจุดผ่านบางจุดของกราฟ y =   ดังนี้

x	-3	-2	-1	0	1	2	3
y	8	4	2	1

 

 จากตัวอย่าง  ที่แสดงให้เห็นรูปร่างกราฟของฟังก์ชัน  y = จะเห็นได้ว่า

1. ค่าของ y จะเพิ่มขึ้นอย่างรวดเร็วเมื่อ x มีค่าเป็นจำนวนลยที่น้อยลงเรื่อย ๆ
2. ค่าของ y จะค่อย ๆ ลดลงเข้าใกล้ศูนย์เมื่อ x มีค่าเป็นจำนวนบวกมากขึ้น

อาจกล่าวได้ว่า  เมื่อ x มีค่าเพิ่มขึ้นจะทำให้ y มีค่าลดลงตามไปด้วย  แสดงว่าฟังก์ชันก์ y =   จึงเป็นฟังก์ชันลดในโดเมนของฟังก์ชันซึ่งเป็นเซตของจำนวนจริง ถูกเรียกสั้น ๆ ว่า  y =   เป็นฟังก์ชันลด

ฟังก์ชันกำลังสอง

            ฟังก์ชันกำลังสอง เป็นฟังก์ชันที่อยู่ในรูป    y   =   ax² + bx + c   เมื่อ  a, b, c  เป็นจำนวนจริงใด ๆ  และ  a ¹ 0   ซึ่งกราฟของฟังก์ชันกำลังสอง  เรียกว่า  พาราโบลา

1)     y  =  2x² + 3x – 10     เมื่อ   a = 2 ,  b = 3   และ  c = -1

2)     y  =   x² + 1                เมื่อ   a = 1 ,  b = 0   และ  c =  1

3)     y  =  -x² + 2x + 1       เมื่อ   a = -1 ,  b = 2   และ  c = 1

               

1.กราฟของฟังก์ชันกำลังสอง ที่กำหนดด้วยสมการ    y  =  ax²   เมื่อ  a ¹ 0

             กราฟของฟังก์ชันกำลังสอง   มีชื่อเรียกว่า  พาราโบลา  ซึ่งลักษณะของกราฟของฟังก์ชันขึ้นอยู่กับค่าของ  a , b  และ  c   และเมื่อ  a  เป็นบวกหรือลบ  จะทำให้ได้กราฟเป็นเส้นโค้งหงายหรือคว่ำ  และกราฟของฟังก์ชันกำลังสองที่กำหนดด้วยสมการ    y  =  ax²   เมื่อ  a¹ 0       เมื่อ  a  > 0   และชนิดคว่ำ   เมื่อ   a < 0    

 2.กราฟที่กำหนดด้วยสมการ   y  =  ax² + k   เมื่อ  a ¹ 0  และ k ¹ 0 

 กราฟที่กำหนดด้วยสมการ   y  =  ax² + k   เมื่อ  a ¹ 0  และ k ¹ 0  จะเป็นกราฟพาราโบลาที่มีจุดวกกลับหรือจุดสูงสุดหรือจุดต่ำสุด  อยู่ที่  (0, k)  และแกนสมมาตรคือ  แกน  Y

3.  กราฟของ   y  =  a(x – h)²     เมื่อ   a ¹ 0  และ h > 0 

                      3.1)  กราฟที่กำหนดด้วยสมการ    y   =   a(x – h)²    เมื่อ  a ¹ 0  และ  h  ¹ 0   จะเป็นกราฟพาราโบลาที่มีจุดวกกลับหรือจุดสูงสุดหรือจุดต่ำสุดอยู่ที่  (h, 0) และแกนสมมาตรคือเส้นตรง  x = h

                     3.2)  กราฟของ   y  =  a(x – h)²     เมื่อ   a ¹ 0  และ  h < 0 

                                ถ้า  h < 0   จะได้สมการใหม่เป็น     y        =    a(x – (-h))²

                                                                                                  =    a(x + h)²

4.  กราฟของฟังก์ชันกำลังสองที่กำหนดด้วยสมการ  y  =  a(x – h)² + k  เมื่อ  a ¹ 0 ,h ¹ 0  และ  k ¹ 0

  

           จะเป็นพาราโบลาที่มีจุดวกกลับหรือจุดสูงสุดหรือจุดต่ำสุดอยู่ที่  (h, k)  และมีแกนสมมาตรคือ  เส้นตรง  x  =  h

               

5.  กราฟที่กำหนดด้วยสมการ   y  =  ax² + bx + c   เมื่อ a ¹ 0   

การเขียนกราฟควรจัดสมการให้อยู่ในรูป   y   =   a(x – h)² + k   จะทำให้เขียนกราฟได้ง่ายขึ้น 

                จากสมการ    y   =   ax² + bx + c    สามารถเปลี่ยนให้อยู่ในรูป    y   =   a(x – h)² + k   ได้โดยใช้ความรู้เรื่องกำลังสองสมบูรณ์  

          ตัวอย่าง    จงหาจุดวกกลับของกราฟของฟังก์ชัน     y   =   2x² + 4x – 16     

               วิธีทำ     จาก             y      =     2x² + 4x – 16

                                                        =     2(x² + 2x – 8)

                                                        =     2{(x² + 2x + 1) – 8 – 1}

                                                        =     2{(x + 1)² – 9}  

                                                        =     2(x + 1)² – 18

                                จะได้      h      =     -1  ,    k    =    -18

                                จุดวกกลับคือ   (-1, -18)